以下Wikipediaより
$x^x$ を $e^x$ のテイラー展開によって展開したものを項別積分します。
$$\begin{eqnarray}
\int_0^1 x^x {\,\mathrm d}x
&=& \int_0^1 e^{x \log x} {\,\mathrm d}x
\\
&=& \int_0^1 \sum_{k = 0}^{\infty}{
\dfrac{
(x \log x)^k
}{
k!
}
} {\,\mathrm d}x
\\
&=& \sum_{k = 0}^{\infty}{
\int_0^1
\dfrac{
(x \log x)^k
}{
k!
} {\,\mathrm d}x
}
\\
&=& \sum_{k = 0}^{\infty}{
\dfrac{ 1 }{ k! }
\int_0^1 x^k (\log x)^k {\,\mathrm d}x
}
\end{eqnarray}$$
ここで $x=\exp\left(-\dfrac{u}{k+1}\right)~(0<u<\infty)$ によって次のような置換積分を行います。
$$\begin{eqnarray}
\int_0^1 x^k (\log x)^k {\,\mathrm d}x
&=& \int_\infty^0{
\exp\left( -\dfrac{u}{k+1}k \right)
\dfrac{ (-u)^k }{ (k+1)^k }
\dfrac{ -1 }{ k+1 }
\exp\left( -\dfrac{u}{k+1} \right)
}{\,\mathrm d}u
\\
&=& -\int_0^\infty{
\exp\left( -\dfrac{u}{k+1}(k+1) \right)
u^k
\dfrac{ (-1)^k }{ (k+1)^k }
\dfrac{ -1 }{ k+1 }
}{\,\mathrm d}u
\\
&=&
-\dfrac{
(-1)^{k + 1}
}{
(k + 1)^{k + 1}
}
\int_0^\infty
u^k e^{-u}
{\,\mathrm d}u
\end{eqnarray}$$
この右辺の定積分はオイラー積分
$$\begin{eqnarray}
\int_0^\infty
u^k e^{-u}
{\,\mathrm d}u
= \Gamma(k+1)
= k!
\end{eqnarray}$$
となっており、よって
$$\begin{eqnarray}
\dfrac{ 1 }{ k! }
\int_0^1 x^k (\log x)^k {\,\mathrm d}x
&=&
-\dfrac{
(-1)^{k + 1}
}{
(k + 1)^{k + 1}
}
\end{eqnarray}$$
となるので、これを元の式に代入して
$$\begin{eqnarray}
\int_0^1 x^x {\,\mathrm d}x
&=& -\sum_{k = 0}^{\infty}{
\dfrac{
(-1)^{k + 1}
}{
(k + 1)^{k + 1}
}
}
\\
&=& -\sum_{k = 1}^{\infty}{
(-k)^{-k}
}
\end{eqnarray}$$
を得ます。
この定積分は二年生の夢（Sophomore’s Dream）と呼ばれるものの片方で、値は 0.78343… となるようです。