テトレーションの底に関する不定積分
$$
\int {}^n x {\,\mathrm d}x
$$
は初等関数で表せないので、級数展開したものを求めます。
● $n = 2$ のとき
$e^x$ のテイラー展開によって展開したものを項別積分します。
$$\begin{eqnarray}
\int x^x {\,\mathrm d}x
&=& \int e^{x\log x} {\,\mathrm d}x \\
&=& \int
\sum_{ k=0 }^{ \infty }{\dfrac{
(x \log x)^k
}{
k!
}}
{\mathrm d}x \\
&=& \sum_{ k=0 }^{ \infty }{
\dfrac{ 1 }{ k! }
\int x^k (\log x)^k {\,\mathrm d}x
} \\
\end{eqnarray}$$
ここで
$$\begin{eqnarray}
\int x^a \log^b x {\,\mathrm d}x
&=& \dfrac{1}{ a+1 } x^{a+1} \log^b x
– \dfrac{ b }{ a+1 } \int x^a (\log x)^{b-1} {\,\mathrm d}x\\
\end{eqnarray}$$
となるので、これを $\int x^k (\log x)^k {\,\mathrm d}x$ に繰り返し適用します。
$$\begin{eqnarray}
\int x^k (\log x)^{k-0} {\,\mathrm d}x
&=& \dfrac{1}{ k+1 } x^{k+1} (\log x)^{k-0}
– \dfrac{ k-0 }{ k+1 } \int x^k (\log x)^{k-1} {\,\mathrm d}x
\\
\int x^k (\log x)^{k-1} {\,\mathrm d}x
&=& \dfrac{1}{ k+1 } x^{k+1} (\log x)^{k-1}
– \dfrac{ k-1 }{ k+1 } \int x^k (\log x)^{k-2} {\,\mathrm d}x
\\
\int x^k (\log x)^{k-2} {\,\mathrm d}x
&=& \dfrac{1}{ k+1 } x^{k+1} (\log x)^{k-2}
– \dfrac{ k-2 }{ k+1 } \int x^k (\log x)^{k-3} {\,\mathrm d}x
\\
&\vdots&
\\
\int x^k (\log x)^{k-k} {\,\mathrm d}x
&=& \dfrac{1}{ k+1 } x^{k+1}
\end{eqnarray}$$
ここから
$$\begin{eqnarray}
\int x^k (\log x)^k {\,\mathrm d}x
&=& k! \dfrac{
x^{k + 1}
}{
k + 1
}
\sum_{ j=0 }^{ k }{
\dfrac{
(-1)^{k-j}
}{
j!(k + 1)^{k-j}
}
(\log x)^j
}
\\
&=& k! \dfrac{
-(-1)^{k + 1} x^{k + 1}
}{
(k + 1)^{k + 1}
}
\sum_{ j=0 }^{ k }{
\dfrac{
(-1)^j(k + 1)^j
}{
j!
}
(\log x)^j
}
\\
&=& -k! \left(-\dfrac{
x
}{
k + 1
}\right)^{k + 1}
\sum_{ j=0 }^{ k }{
\dfrac{ 1 }{ j! }
\left[
-(k + 1)\log x
\right]^j
}
\end{eqnarray}$$
となります。
[ 証明 ]
$$\begin{eqnarray}
&&
\dfrac{\mathrm d}{\mathrm d x}
\left[
k! \dfrac{
x^{k + 1}
}{
k + 1
}
\sum_{ j=0 }^{ k }{
\dfrac{
(-1)^{k-j}
}{
j!(k + 1)^{k-j}
}
(\log x)^j
}
\right]
\\
&&=
k! \dfrac{
1
}{
k + 1
}
\sum_{ j=0 }^{ k }{
\dfrac{
(-1)^{k-j}
}{
j!(k + 1)^{k-j}
}
\dfrac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left[ x^{k + 1} (\log x)^j \right]
}
\\
&&=
k! \dfrac{
1
}{
k + 1
}
\sum_{ j=0 }^{ k }{
\dfrac{
(-1)^{k-j}
}{
j!(k + 1)^{k-j}
}
\left[
(k + 1)x^k (\log x)^j
+ x^k j(\log x)^{j – 1}
\right]
}
\\
&&=
k! \dfrac{
x^k
}{
k + 1
}
\sum_{ j=0 }^{ k }{
\left[
\dfrac{
(-1)^{k-j}
}{
j!(k + 1)^{k-(j+1)}
} (\log x)^j
+
\dfrac{
(-1)^{k-j}
}{
(j – 1)!(k + 1)^{k-j}
} (\log x)^{j – 1}
\right]
}
\\
&&=
k! \dfrac{
x^k
}{
k + 1
}
\sum_{ j=0 }^{ k }{
a_j-a_{j+1}
}
\quad\left(
a_0 = 0,~
a_j = \dfrac{
(-1)^{k-j}
}{
(j – 1)!(k + 1)^{k-j}
} (\log x)^{j – 1}
\right)
\\
&&=
k! \dfrac{
x^k
}{
k + 1
}
\left[{
a_0
+ (a_{1}-a_{0+1})
+ \cdots
+ (a_{k}-a_{(k-1)+1})
– a_{(k)+1}
}\right]
\\
&&=
-k! \dfrac{
x^k
}{
k + 1
}
\dfrac{
(-1)^{-1} (\log x)^k
}{
k! (k + 1)^{-1}
}
\\
&&=
\dfrac{
k! x^k
}{
k + 1
}
\dfrac{
(k + 1)(\log x)^k
}{
k!
}
\\
&&= x^k (\log x)^k \quad \Box
\end{eqnarray}$$
以上より、積分定数を $C$ とおくと
$$\begin{eqnarray}
\int x^x {\,\mathrm d}x
&=& C-\sum_{ k=0 }^{ \infty }{
\left(-\dfrac{
x
}{
k + 1
}\right)^{k + 1}
\sum_{ j=0 }^{ k }{
\dfrac{ 1 }{ j! }
\left[
-(k + 1)\log x
\right]^j
}
}
\\
&=& C-\sum_{ k=1 }^{ \infty }{
\left(-\dfrac{
x
}{
k
}\right)^{k}
\sum_{ j=0 }^{ k-1 }{
\dfrac{ 1 }{ j! }
\left(
-k\log x
\right)^j
}
}
\end{eqnarray}$$
となります。
● $n\in{\mathbb N}$ のとき
こちらやこちらによると、$x>0,~b_n(x)=\Gamma(n+1, -\log x)$ および
$$ a_{j,k} = \begin{cases}
1 &\mathrm{if}\, k=0 \\
\dfrac{1}{k!} &\mathrm{if}\, k=1 \\
\dfrac{1}{k} \displaystyle\sum_{l=1}^{k}{
l a_{j, k-l} a_{j-1, l-1}
} &\mathrm{otherwise}
\end{cases}$$
によって、次のように表わされるようです。
$$
\int {}^n x {\,\mathrm d}x = C
+\sum_{j=0}^{n}{
\dfrac{ (-1)^j (j + 1)^{j – 1} }{ j! } b_j(x)
}
+\sum_{j=n+1}^{\infty}{
(-1)^j a_{n,j} b_j(x)
}
$$