$x^x$ の一次導関数
$$ \left({x^x}\right)’ = x^x (\log x + 1) $$
を $f(x)=x^x,~g(x)=\log x + 1$ によって次のように表す.
$$ f'(x) = f(x) g(x) $$
ここで $m=n-1$ とおくと, ライプニッツの公式より $f$ の $n ~(\geq 2)$ 次導関数は
$$
f^{(n)}(x)
= \left({ f(x)g(x) }\right)^{(m)}
= \sum_{k=0}^{m} {{}_m{\mathrm C}_k f^{(m-k)}(x) g^{(k)}(x)}
$$
となり, また $g$ の $t~(\geq 1)$ 次導関数は
$$
g^{(t)}(x)
= \left({ \dfrac{1}{x} }\right)^{(t-1)}
= \dfrac{ (t-1)!~(-1)^{t-1} }{ x^t }
$$
であるから
$$
\begin{eqnarray}
f^{(n)}(x)
&=& f^{(m)}(x) g^{(0)}(x)+ \sum_ {k=1}^{m} {{}_ m{\mathrm C}_ k f^{(m-k)}(x) g^{(k)}(x)} \\
&=& (\log x+1) f^{(m)}(x)+ \sum_ {k=1}^{m} {\dfrac{ m ! }{ k ! ~ (m-k) ! } \dfrac{ (k-1)! ~ (-1)^{k-1} }{ x^k } f^{(m-k)}(x)} \\
&=& (\log x+1) f^{(m)}(x)+ \sum_ {k=1}^{m} {\dfrac{ m!(-1)^{k-1} }{ (m-k)!kx^k } f^{(m-k)}(x)} \\
&=& (\log x+1) f^{(n-1)}(x)+ \sum_ {k=1}^{n-1} {\dfrac{ (n-1)!(-1)^{k-1} }{ (n-k-1)!kx^k } f^{(n-k-1)}(x)} \\
&=& (\log x+1) f^{(n-1)}(x)+ \sum_ {k=2}^{n} {\dfrac{ (n-1)!(-1)^{k} }{ (n-k)!(k-1)x^{k-1} } f^{(n-k)}(x)} \\
\end{eqnarray}
$$
となり, 結局 $(x^x)^{(n)}$ は次のように表される.
$$
\begin{eqnarray}
\dfrac{\mathrm d^n}{{\mathrm d} x^n} x^x =
\begin{cases}
x^x & {\mathrm{if}~} n=0 \\
(\log x+1) x^x & {\mathrm{if}~} n=1 \\
(\log x+1) {\dfrac{\mathrm d^{n-1}}{{\mathrm d} x^{n-1}} x^x} + \displaystyle\sum_{k=2}^{n} {\dfrac{ (n-1)!(-1)^{k} }{ (n-k)!(k-1)x^{k-1} } {\dfrac{\mathrm d^{n-k}}{{\mathrm d} x^{n-k}} x^x} } & {\mathrm{if}~} n\geq 2
\end{cases}
\end{eqnarray}
$$