$x<0$ で $x^x$ の値が複素平面上をくるくる回りながら 0 に収束していっていて気になったので極座標表示にしてみました。
$$
\begin{eqnarray}
z^z
&=& e^{z \log z} \\
&=& e^{({\mathrm{Re} z}+i{\mathrm{Im} z})(\log|z|+i\arg z)} \\
&=& e^{ ({\mathrm{Re} z}\log|z| – {\mathrm{Im} z}\arg z) + i({\mathrm{Im} z}\log|z| + {\mathrm{Re} z}\arg z) } \\
&=& \dfrac{
|z|^{\mathrm{Re}\,z}
}{
e^{ {\mathrm{Im}\,z}~\arg z }
}\left\lbrace
\cos( {\mathrm{Im}\,z}~\log|z| + {\mathrm{Re}\,z}~\arg z )
+i\sin( {\mathrm{Im}\,z}~\log|z| + {\mathrm{Re}\,z}~\arg z )
\right\rbrace
\end{eqnarray}
$$
から
$$
\therefore
|z^z| = \dfrac{
|z|^{\mathrm{Re}\,z}
}{
e^{ {\mathrm{Im}\,z}~\arg z }
} ,\quad
\arg z^z = {\mathrm{Im}\,z}~\log|z| + {\mathrm{Re}\,z}~\arg z
$$
となりました。ここで $z$ を負の実数とおくと
$$
|z^z| = \dfrac{1}{|z|^{|z|}} ,\quad
\arg z^z = -\pi|z| \quad
(z\in{\mathbb R},~z<0)
$$
となるので、一定のペースで回りながら爆速で0に向かっていっているみたいです。
また $x^x$ は $0<x<1$ で極値 $a$
$$
\begin{eqnarray}
(x^x)' &=& 0 \\
x^x(\log x+1) &=& 0 \\
\log x+1 &=& 0 \quad(\because~ x>0 \Rightarrow x^x>0)\\
x &=& \dfrac{1}{e} \quad\left(\therefore a=\dfrac{1}{\sqrt[e]{e}}\right) \\
\end{eqnarray}
$$
をとって極小になるので、$z$ が負のとき $|z^z|$ が最大になるのは
$$ z=-\dfrac{1}{e},\quad |z^z|=\sqrt[e]{e},\quad \arg z^z=-\dfrac{\pi}{e} $$
ということになります。