参考（計算方法）
一次方程式
$
x=-\dfrac{b}{a}
$
二次方程式
$
x = \dfrac{
-b \pm \sqrt{
b^2 - 4ac
}
}{
2a
}
$
三次方程式（カルダノの方法）
三次方程式 $P_3(x)=x^3+ax^2+bx+c=0$ に対して
$$
y = x+\dfrac{1}{3}a,\quad
p = b -\dfrac{1}{3}a^2,\quad
q = c -\dfrac{1}{3}ab +\dfrac{2}{27}a^3
$$
とおくと, 二次の項が消えた三次方程式 $P_3(y)=0$ が得られます.
$$
y^3+py+q=0
$$
$\omega$ を1の原始立方根とすると, この方程式の根 $y_1,y_2,y_3$ は次のように表されます.
$$
y_k =
\omega^k \sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2} +\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^2
+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3
}
}
+\omega^{3-k} \sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2} -\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^2
+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3
}
}
$$
四次方程式（フェラーリの方法）
四次方程式 $P_4(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ に対して
$$
y = x+\dfrac{1}{4}a,\quad
p = b -\dfrac{3}{8}a^2,\quad
q = c -\dfrac{1}{2}ab +\dfrac{1}{8}a^3,\quad
r = d -\dfrac{1}{4}ac +\dfrac{1}{16}a^2 b -\dfrac{3}{256}a^4
$$
とおくと, 三次の項が消えた四次方程式 $P_4(y)=0$ が得られます.
$$
y^4+py^2+qy+r=0
$$
この方程式は $q=0$ のとき, $y^2$ に関する二次方程式として根が求まるので, 以下 $q\neq 0$ とします.
三次分解方程式
$$
u^3+2pu^2+(p^2-4 r)u-q^2=0
$$
の根の一つを $u_1$ とおくと, 根 $y_1,y_2,y_3,y_4$ は次の二つの二次方程式の根となっています.
$$
y^2 +\sqrt{u_1} y +{\left(
\dfrac{p+u_1}{2}
-\dfrac{q}{2u_1}
\right)} = 0,\quad
y^2 -\sqrt{u_1} y +{\left(
\dfrac{p+u_1}{2}
+\dfrac{q}{2u_1}
\right)} = 0
$$
DKA（Durand–Kerner–Aberth）法
代数方程式 $P_n(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=0$ に対し, 次の反復を各根 $x_k$ について繰り返します.
$$
{\left(x_k \right)}_{l+1} =
{\left(x_k \right)}_{l}
-\dfrac{
P_n{\left(
{\left(x_k \right)}_{l}
\right)}
}{
\prod^{
}_{
k \neq j
}{\left(
{\left(x_k \right)}_{l}
-{\left(x_j \right)}_{l}
\right)}
}
$$
各根の初期値 ${\left(x_k \right)}_{0}$ は適当な $r$ によって次のように定めます.
$$
{\left(x_k \right)}_{0} =
-\dfrac{
a_{n-1}
}{
n
}
+r \exp{\left[\left(
\dfrac{
2\pi(k-1)
}{
n
}
+\dfrac{
3
}{
2n
}
\right)i\right]}
$$
$r$ には, 次の方程式の正の実数根をニュートン法で求めたものを用います.
$$
x^n
-|a_{n-2}|x^{n-2}
-|a_{n-3}|x^{n-3}
-\cdots
-|a_{1}|x
-|a_{0}|
= 0
$$